{"id":75,"date":"2024-10-10T17:12:53","date_gmt":"2024-10-10T15:12:53","guid":{"rendered":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/?post_type=chapter&p=75"},"modified":"2025-04-02T09:07:32","modified_gmt":"2025-04-02T07:07:32","slug":"bruchzahlen-verstehen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/chapter\/bruchzahlen-verstehen\/","title":{"raw":"Bruchzahlen verstehen","rendered":"Bruchzahlen verstehen"},"content":{"raw":"Mit den 8 flexiblen Interviews kann die Einsicht in Bruchzahlen und deren Darstellung mit Hilfe von geometrischen Modellen (Rechteck- und W\u00fcrfelmodell) sowie dem Zahlenstrahl operativ erforscht werden. Es handelt sich um offene und erweiterbare Aufgaben, welche von den Studien von Piaget (1975) und Battista (1996, 1998) ausgehen. Sieben davon sind in Explorationsstudien an rund 200 Kindern (Durchschnittsalter 10;8 Jahre, Standardabweichung 3;5 Jahre) durch Studierende der HfH erprobt worden. Zum flexiblen Interview Nr. 3, Bruchzahlen und Zahlenstrahl, liegt eine Publikation vor,\u00a0siehe Poster (Meyer, 2008).<\/a>\r\n\r\nDie Interviews k\u00f6nnen vom Kindergarten bis zur Sekundarstufe eingesetzt werden.\u00a0Link zum Ueberblick<\/a>.\r\n\r\nRollenspiele<\/a>\u00a0erm\u00f6glichen gute Einstiege in die Methode.\r\n\r\nOrganisieren Sie einladende Einzel- oder Gruppensituationen, in denen die\u00a0Grundideen\u00a0<\/u>der Geometrie und der Arithmetik umgesetzt werden (vgl. Wittmann, 1999; Franke & Reinhold, 2016). Dabei treten die dialogische, operative Diagnostik in Wechselwirkungen mit der Denkschulung (vgl. Adey, 2008; Adey & Shayer, 1994).\r\n\r\nThema und didaktische Skizzen<\/strong>:\r\n
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    \r\n \t
  1. Bruchzahlen mit dem FI verstehen - Einleitung<\/a><\/li>\r\n \t
  2. Was ist ein Viertel? W\u00fcrfelmodell<\/a><\/li>\r\n \t
  3. Was ist ein Viertel? Zeichne im Quadrat<\/a><\/li>\r\n \t
  4. Bruchzahlen und Zahlenstrahl <\/a>- und Poster \"number line and simple fractions\" (Meyer, 2008)<\/a><\/li>\r\n \t
  5. Verdopple eineinhalb auf dem Zahlenstrahl<\/a><\/li>\r\n \t
  6. Quadratfl\u00e4che von einem halben Meter Seitenl\u00e4nge berechnen (Symbolisch)<\/a><\/li>\r\n \t
  7. W\u00fcrfelvolumen vergleichen (Enaktiv)<\/a><\/li>\r\n \t
  8. Was ist ein Achtel? (Symbolisch am W\u00fcrfelmodell)<\/a><\/li>\r\n \t
  9. Was ist ein Vierundsechzigstel (Symbolisch am W\u00fcrfelmodell)<\/a><\/li>\r\n<\/ol>\r\nDer Kurzvortrag \u00fcber\u00a0Heinrich Winter\u00a0<\/a>(5:30 Min.) gibt eine mathematikdidaktische Einf\u00fchrung. Das flexible Interview unterst\u00fctzt das entdeckende Lernen methodisch und erkenntnistheoretisch. Der Artikel von\u00a0 [private] page not found [private] page not found Gerald Wittmann (2006) <\/a>\u00a0[\/private] \"Grundvorstellungen zu Bruchzahlen \u2013 auch f\u00fcr leistungsschwache Sch\u00fcler?\" bietet wichtige Differenzierungen.<\/span>\r\n\r\nDie Erfahrungen mit der Didaktik des Bruchrechnens zeigen, dass es fragw\u00fcrdig ist zu glauben, man k\u00f6nne Kindern die Einsicht in Bruchzahlen mit didaktischen Hilfsmitteln oder mit Regeln \"spenden\" (Christofid\u00e8s-Henriques, 2003).Die flexiblen Interviews machen sichtbar, was die Kinder beim Denken und Darstellen verstehen und wie die\u00a0Denkschulung<\/a>\u00a0weitergef\u00fchrt werden k\u00f6nnte (vgl. Adey & Shayer, 1994; Adey, 2008). Die logisch-mathematische Analyse der Darstellungsmittel ist unabdingbar. Die flexiblen Interviews vertiefen die Einsichten in deren Verst\u00e4ndnis. Weiter gilt: je wirkungsvoller und beziehungshaltiger der Geometrieunterricht ist, desto entwickelter sind die Zahlentheorien und Operationsverst\u00e4ndnisse der Lernenden.<\/span>\r\n\r\nWie sollte p\u00e4dagogisch und fachdidaktisch vorgegangen werden, damit das Lehren und Lernen lebendig, interessengeleitet, produktiv, dynamisch und kognitiv anspruchsvoll erfahren werden kann? Wir stellen uns ein\u00a0Labor<\/strong>\u00a0vor, in dem Kinder, Jugendliche und auch Student*innen unter gezielter F\u00fchrung die Bruchzahlen wiederentdecken k\u00f6nnen. Freudenthal (1991) bezeichnete das als \"guided reinvention\". Weitere theoretische Bez\u00fcge und Konzepte finden wir bei Lurija & Judowitsch (1982), sie sprachen vom p\u00e4dagogischen Experiment; Steffe et. al. (2000) portraitierten das \"experimental teaching\"; Bell (1993a,b) hatte den Begriff des \"diagnostic teaching\" erl\u00e4utert.\r\n\r\nDie bewusste Integration des metakognitiven Denkens in die flexiblen Interviews er\u00f6ffnet einen Prozess der \"abstraction r\u00e9fl\u00e9chissante\" (Piaget, 1977a, b) an. Adey & Shayer (1994) sowie Adey (2008) hatten diese Integration im Konzept der \"Cognitive Acceleration<\/a>\" als Kombination bestehend aus den flexiblen Interviews und der Zone der n\u00e4chsten Entwicklung (vgl. Wygotski, 1986) entwickelt und empirisch validiert. Die metakognitiven Fragen werden Schritt f\u00fcr Schrit in das bestehende Labor, Bruchzahlen verstehen, eingebaut. Unterst\u00fctzung bei Experimenten und \u00dcbungen im Sinn der\u00a0Lesson Study<\/a> kann angefordert werden unter stefan.meyer@em.hfh.ch\r\n\r\n[private] Link nicht mehr vorhanden\r\n\r\nMehr dazu in Angeboten der HfH<\/a>.\r\n\r\n[\/private]\r\n\r\n
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    Extras<\/h2>\r\nDas Halbspiel W\u00fcrfelspiel mit Schicksalskarten Operationen mit Bruchzahlen (Artikel)<\/a>\r\n\r\nKopiervorlagen zum Halbspiel<\/a>\r\n\r\n<\/div>\r\nEin Achtel (siehe FI 7)\r\n
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    Mit den 8 flexiblen Interviews kann die Einsicht in Bruchzahlen und deren Darstellung mit Hilfe von geometrischen Modellen (Rechteck- und W\u00fcrfelmodell) sowie dem Zahlenstrahl operativ erforscht werden. Es handelt sich um offene und erweiterbare Aufgaben, welche von den Studien von Piaget (1975) und Battista (1996, 1998) ausgehen. Sieben davon sind in Explorationsstudien an rund 200 Kindern (Durchschnittsalter 10;8 Jahre, Standardabweichung 3;5 Jahre) durch Studierende der HfH erprobt worden. Zum flexiblen Interview Nr. 3, Bruchzahlen und Zahlenstrahl, liegt eine Publikation vor,\u00a0siehe Poster (Meyer, 2008).<\/a><\/p>\n

    Die Interviews k\u00f6nnen vom Kindergarten bis zur Sekundarstufe eingesetzt werden.\u00a0Link zum Ueberblick<\/a>.<\/p>\n

    Rollenspiele<\/a>\u00a0erm\u00f6glichen gute Einstiege in die Methode.<\/p>\n

    Organisieren Sie einladende Einzel- oder Gruppensituationen, in denen die\u00a0Grundideen\u00a0<\/u>der Geometrie und der Arithmetik umgesetzt werden (vgl. Wittmann, 1999; Franke & Reinhold, 2016). Dabei treten die dialogische, operative Diagnostik in Wechselwirkungen mit der Denkschulung (vgl. Adey, 2008; Adey & Shayer, 1994).<\/p>\n

    Thema und didaktische Skizzen<\/strong>:<\/p>\n

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    1. Bruchzahlen mit dem FI verstehen – Einleitung<\/a><\/li>\n
    2. Was ist ein Viertel? W\u00fcrfelmodell<\/a><\/li>\n
    3. Was ist ein Viertel? Zeichne im Quadrat<\/a><\/li>\n
    4. Bruchzahlen und Zahlenstrahl <\/a>– und Poster „number line and simple fractions“ (Meyer, 2008)<\/a><\/li>\n
    5. Verdopple eineinhalb auf dem Zahlenstrahl<\/a><\/li>\n
    6. Quadratfl\u00e4che von einem halben Meter Seitenl\u00e4nge berechnen (Symbolisch)<\/a><\/li>\n
    7. W\u00fcrfelvolumen vergleichen (Enaktiv)<\/a><\/li>\n
    8. Was ist ein Achtel? (Symbolisch am W\u00fcrfelmodell)<\/a><\/li>\n
    9. Was ist ein Vierundsechzigstel (Symbolisch am W\u00fcrfelmodell)<\/a><\/li>\n<\/ol>\n

      Der Kurzvortrag \u00fcber\u00a0Heinrich Winter\u00a0<\/a>(5:30 Min.) gibt eine mathematikdidaktische Einf\u00fchrung. Das flexible Interview unterst\u00fctzt das entdeckende Lernen methodisch und erkenntnistheoretisch. Der Artikel von\u00a0 „Grundvorstellungen zu Bruchzahlen \u2013 auch f\u00fcr leistungsschwache Sch\u00fcler?“ bietet wichtige Differenzierungen.<\/span><\/p>\n

      Die Erfahrungen mit der Didaktik des Bruchrechnens zeigen, dass es fragw\u00fcrdig ist zu glauben, man k\u00f6nne Kindern die Einsicht in Bruchzahlen mit didaktischen Hilfsmitteln oder mit Regeln „spenden“ (Christofid\u00e8s-Henriques, 2003).Die flexiblen Interviews machen sichtbar, was die Kinder beim Denken und Darstellen verstehen und wie die\u00a0Denkschulung<\/a>\u00a0weitergef\u00fchrt werden k\u00f6nnte (vgl. Adey & Shayer, 1994; Adey, 2008). Die logisch-mathematische Analyse der Darstellungsmittel ist unabdingbar. Die flexiblen Interviews vertiefen die Einsichten in deren Verst\u00e4ndnis. Weiter gilt: je wirkungsvoller und beziehungshaltiger der Geometrieunterricht ist, desto entwickelter sind die Zahlentheorien und Operationsverst\u00e4ndnisse der Lernenden.<\/span><\/p>\n

      Wie sollte p\u00e4dagogisch und fachdidaktisch vorgegangen werden, damit das Lehren und Lernen lebendig, interessengeleitet, produktiv, dynamisch und kognitiv anspruchsvoll erfahren werden kann? Wir stellen uns ein\u00a0Labor<\/strong>\u00a0vor, in dem Kinder, Jugendliche und auch Student*innen unter gezielter F\u00fchrung die Bruchzahlen wiederentdecken k\u00f6nnen. Freudenthal (1991) bezeichnete das als „guided reinvention“. Weitere theoretische Bez\u00fcge und Konzepte finden wir bei Lurija & Judowitsch (1982), sie sprachen vom p\u00e4dagogischen Experiment; Steffe et. al. (2000) portraitierten das „experimental teaching“; Bell (1993a,b) hatte den Begriff des „diagnostic teaching“ erl\u00e4utert.<\/p>\n

      Die bewusste Integration des metakognitiven Denkens in die flexiblen Interviews er\u00f6ffnet einen Prozess der „abstraction r\u00e9fl\u00e9chissante“ (Piaget, 1977a, b) an. Adey & Shayer (1994) sowie Adey (2008) hatten diese Integration im Konzept der „Cognitive Acceleration<\/a>“ als Kombination bestehend aus den flexiblen Interviews und der Zone der n\u00e4chsten Entwicklung (vgl. Wygotski, 1986) entwickelt und empirisch validiert. Die metakognitiven Fragen werden Schritt f\u00fcr Schrit in das bestehende Labor, Bruchzahlen verstehen, eingebaut. Unterst\u00fctzung bei Experimenten und \u00dcbungen im Sinn der\u00a0Lesson Study<\/a> kann angefordert werden unter stefan.meyer@em.hfh.ch<\/p>\n

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      Extras<\/h2>\n

      Das Halbspiel W\u00fcrfelspiel mit Schicksalskarten Operationen mit Bruchzahlen (Artikel)<\/a><\/p>\n

      Kopiervorlagen zum Halbspiel<\/a><\/p>\n<\/div>\n

      Ein Achtel (siehe FI 7)<\/p>\n

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      Mit den 8 flexiblen Interviews kann die Einsicht in Bruchzahlen und deren Darstellung mit Hilfe von geometrischen Modellen (Rechteck- und W\u00fcrfelmodell) sowie dem Zahlenstrahl operativ erforscht werden. Es handelt sich um offene und erweiterbare Aufgaben, welche von den Studien von Piaget (1975) und Battista (1996, 1998) ausgehen. Sieben davon sind in Explorationsstudien an rund 200 […]<\/p>\n","protected":false},"author":2160,"menu_order":7,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"categories":[],"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-75","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":28,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/75","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2160"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/75\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":578,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/75\/revisions\/578"}],"part":[{"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/28"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/75\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=75"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=75"},{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=75"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=75"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/digital.hfh.ch\/interview\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=75"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}